Question

给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax²+bx+1．
（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k²+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很适用于韦达定理．由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值．
（2）①直线l：y=kx向上平移k²+1，得直线l′：y=kx+k²+1．根据无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C：y=ax²+bx+1都只有一个交点，得ax²+（b-k）x-k²=0中△=（b-k）²+4ak²=0．这虽然是个方程，但无法求解．这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回△=（b-k）²+4ak²中，若不能使其结果为0，则应舍去．
②求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图．发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较．这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=-

1

4

x²+1上，则可设其坐标为（x，-

1

4

x²+1），进而易求OP，PQ．

解答：（1）解：∵l：y=kx，C：y=ax²+bx+1，当b=1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax²+x+1，即ax²+（1-k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=x_A+x_B=

k-1

a

，
∴k=1．
∵y=ax²+x+1=a（x+

1

2a

）²+1-

1

4a

，
∴顶点（-

1

2a

，1-

1

4a

）在y=x上，
∴-

1

2a

=1-

1

4a

，
解得 a=-

1

4

．

（2）①解：∵无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线l′与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，l′：y=x+2，
∴代入C：y=ax²+bx+1中，有ax²+（b-1）x-1=0，
∵△=（b-1）²+4a=0，
∴（b-1）²+4a=0，
当k=2时，l′：y=2x+5，
∴代入C：y=ax²+bx+1中，有ax²+（b-2）x-4=0，
∵△=（b-2）²+16a=0，
∴（b-2）²+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组

(b-1)2+4a=0 (b-2)2+16a=0

，
解得

a=- 1 4 b=0

或

a=- 1 36 b= 4 3

．
∵l′：y=kx+k²+1代入C：y=ax²+bx+1，得ax²+（b-k）x-k²=0，
∴△=

(b-k)2+4ak2

．
当

a=- 1 4 b=0

时，△=（-k）²+4×（-

1

4

）k²=k²-k²=0，故无论k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．
当

a=- 1 36 b= 4 3

时，△=（

4

3

-k）²+4×（-

1

36

）k²=

8

9

k²-

8

3

k+

16

9

，显然虽k值的变化，△不恒为0，所以不合题意舍去．
∴C：y=-

1

4

x²+1．

②证明：根据题意，画出图象如图1，

由P在抛物线y=-

1

4

x²+1上，设P坐标为（x，-

1

4

x²+1），连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，
∵PD=|-

1

4

x²+1|，OD=|x|，
∴OP=

PD2+OD2

=

1 16 x4- 1 2 x2+1+x2

=

1 16 x4+ 1 2 x2+1

=

1

4

x2+1，
  PQ=2-y_P=2-（-

1

4

x²+1）=

1

4

x2+1，
∴OP=PQ．

点评：本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移解析式变化，韦达定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解答有一定难度，需要好好理解掌握．