Question

12．如图，∠A=∠CBD=30°，∠ABD=45°，则以下结论错误的是（　　）

• A． AB=3CD
• B． BC²=CD•AB
• C． △BCD是等腰三角形
• D． 2CD=（$\sqrt{3}-1$）AD

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠ABC=75°，根据三角形的内角和得到∠C=180°-∠A-∠ABC=75°，于是得到△BCD是等腰三角形，故C正确；根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，于是得到BC²=CD•AB，故B正确；过D作DE⊥AB于E，设DE=BE=x，解直角三角形得到AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，BC=BD=$\sqrt{2}$x，根据BC²=CD•AB，于是得到2CD=2（$\sqrt{3}$-1）x=（$\sqrt{3}$-1）•AD，故D正确；由于AD=2DE≠2CD，于是得到AB≠3CD，故A错误．

解答 解：∵∠A=∠CBD=30°，∠ABD=45°，
∴∠ABC=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=75°，
∴∠ABC=∠C，
∴△BCD是等腰三角形；故C正确；
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△CBD，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
∴BC²=CD•AB，故B正确；
过D作DE⊥AB于E，
设DE=BE=x，
∴AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，BC=BD=$\sqrt{2}$x，
∵BC²=CD•AB，
∴（$\sqrt{2}$x）²=CD•（$\sqrt{3}$x+x）
∴CD=（$\sqrt{3}$-1）x，
∴2CD=2（$\sqrt{3}$-1）x=（$\sqrt{3}$-1）•AD，故D正确；
∵AD=2DE≠2CD，
∴AB≠3CD，故A错误．
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．