Question

平面上A、B两点到直线l的距离分别是5与3，则线段AB的中点C到直线l的距离为

 

．

Answer 1

分析：此题分情况考虑：①A、B在直线l的同侧，先利用梯形定义，证出四边形ABFD是梯形，再利用平行线分线段成比例定理证出AC：BC=DE：EF，而C是AB中点，那么AC：BC=1：1，所以DE：EF=1：1，所以E是DF中点，从而CE是梯形ABFD的中位线，利用梯形中位线定理可求出CE的长；
②A、B在直线l的异侧，先做出B的对称点B′，再证明CC′是△ABB的中位线，从而易求CC′，由于C′是AB的中点，类似①可知C′E是梯形ADFB′的中位线，从而可求C′E，进而可求CE．

解答：解：①如右图，A、B在直线l同侧，AD⊥l，BF⊥l，且BF、AD分别是3，5，C是AB中点，作CE⊥l，
∵AD⊥l，BF⊥l，BF≠AD，
∴四边形ABFD是梯形，
又∵CE⊥l，C是AB中点，
∴CE∥BF∥AD，
∴ED：EF=AC：BC=1：1
∴E是DF的中点，
∴CE是梯形ABFD的中位线，
∴CE=

1

2

（BF+AD）=

1

2

×8=4．
②如图2，A、B在直线l的异侧，AD⊥l，BF⊥l，且BF、AD分别是3，5，
C是AB中点，延长BF到B′，使B′F=BF，连接AB′，过C作CE⊥l，交l于E，交AB′
于C′，
∵CE⊥l，BF⊥l，
∴CC′∥BB′，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵C是AB中点，
∴AC=BC，
∴AC：BC=AC′：C′B′，
∴AC′=C′B′，
∴CC′是△ABB′的中位线，
∴CC′=5，
根据①易知C′E是梯形ADFB′的中位线，那么C′E=4，
∴CE=CC′-C′E=1．
故答案是1或4．

点评：本题考查了梯形中位线定理，此题关键是会画草图，并利用了平行线分线段成比例定理，能考虑到两种情况．