Question

8．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BD是AC边上中线，CE是AB边上中线，且BD⊥CE于点G，GF⊥BC于点F，若GF=2$\sqrt{2}$，BC=6，求AB的长．

Answer 1

分析 首先由射影定理求出BF，得出CF，再由射影定理求出BG²、CG，再根据重心定理求出EG，然后由勾股定理求出BE，即可得出AB的长．

解答 解：∵BD⊥CE，GF⊥BC，
∴由射影定理得：GF²=BF•CF=BF（BC-BF），
即（2$\sqrt{2}$）²=BF（6-BF），
解得：BF=4，或BF=2（不合题意，舍去），
∴BF=4，
∴CF=2，
由射影定理得：BG²=BF•BC=4×6=24，CG²=CF•BC=2×6=12，
∴CG=2$\sqrt{3}$，
∵BD是AC边上中线，CE是AB边上中线，
∴AB=2BE，
由重心定理得：EG=$\frac{1}{2}$CG=$\sqrt{3}$，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：BE²=EG²+BG²=3+24=27，
∴BE=3$\sqrt{3}$，
∴AB=2BE=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理、射影定理、重心定理；熟练掌握勾股定理和重心定理，由射影定理和重心定理求出EG是解决问题的关键．