Question

已知两直线l₁，l₂分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₁交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l₁，抛物线，直线l₂和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用△BOC∽△COA，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）可求得直线l₁的解析式为y=-

3

x+

3

，直线l₂的解析式为y=

3

3

x+

3

，进而得出D，E，F点的坐标即可得出，三条线段数量关系；
（3）利用等边三角形的判定方法得出△ABK为正三角形，以及易知△KDC为等腰三角形，进而得出△MCK为等腰三角形时M点坐标．

解答：解：（1）解法1：∵l₁⊥l₂，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，又∠COA=∠BOC=90°
∴△BOC∽△COA，
∴

CO

BO

=

AO

CO

，
即

CO

3

=

1

CO

，
∴CO=

3

，
∴点C的坐标是（0，

3

），
由题意，可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+

3

，
把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+

3

，
得

a+b+ 3 =0 9a-3b+ 3 =0

，
解这个方程组，得

a=- 3 3 b=- 2 3 3

，
∴抛物线的函数解析式为y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

．

解法2：由勾股定理，得（OC²+OB²）+（OC²+OA²）=BC²+AC²=AB²，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴OC=

3

，
∴点C的坐标是（0，

3

），
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x-1）（x+3），把C（0，

3

）代入
函数解析式得a=-

3

3

，
所以，抛物线的函数解析式为y=-

3

3

(x-1)(x+3)=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

；

（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
理由如下：
设直线l₁的解析式为y=kx+b，把A（1，0），C（0，

3

），代入解析式，
解得k=-

3

，b=

3

，
所以直线l₁的解析式为y=-

3

x+

3

，
同理可得直线l₂的解析式为y=

3

3

x+

3

，
抛物线的对称轴为直线x=-1，
由此可求得点K的坐标为（-1，2

3

），
点D的坐标为（-1，

4 3

3

），点E的坐标为（-1，

2 3

3

），点F的坐标为（-1，0），
∴KD=

2 3

3

，DE=

2 3

3

，EF=

2 3

3

，
∴KD=DE=EF．

解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
则可得EF=BF×tan30°=

2 3

3

，KF=AF×tan60°=2

3

，
由顶点D坐标（-1，

4 3

3

）得DF=

4 3

3

，
∴KD=DE=EF=

2 3

3

；

（3）当点M的坐标分别为（-2，

3

），（-1，

4 3

3

）时，△MCK为等腰三角形．
理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，
∵F（-1，0），直线l₁的解析式为y=-

3

x+

3

，
∴K（-1，2

3

），
∵B（-3，0），
∴直线BK的解析式为：y=

3

x+3

3

①，
∵抛物线的函数解析式为y═-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

②；
①②联立即可求出点G的坐标为（-2，

3

），
又∵点C的坐标为（0，

3

），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l₂与抛物线交于点G，即l₂∥AB时，符合题意，此时点M₁的坐标为（-2，

3

），
（ii）连接CD，由KD=

2 3

3

，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，
∴当l₂过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M₂坐标为（-1，

4 3

3

），
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为（-2，

3

），（-1，

4 3

3

）时，△MCK为等腰三角形．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点，同学们应重点掌握．