Question

（2013•苏州一模）如图，抛物线经过A，C，D三点，且三点坐标为A（-1，0），C（0，5），D（2，5），抛物线与x轴的另一个交点为B点，点F为y轴上一动点，作平行四边形DFBG，
（1）B点的坐标为

（3，0）

；
（2）是否存在F点，使四边形DFBG为矩形？如存在，求出F点坐标；如不存在，说明理由；
（3）连结FG，FG的长度是否存在最小值？如存在求出最小值；若不存在说明理由；
（4）若E为AB中点，找出抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围：

-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3

．

Answer 1

分析：（1）根据点C、D的纵坐标相等求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求出点B的坐标即可；
（2）连接CD，然后求出△CDF和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF，然后写出点F的坐标即可；
（3）连接BD，设FG、BD相交于点H，根据平行四边形的对角线互相平分可得FG=2FH，再求出点H的坐标，再根据垂线段最短可得FH⊥y轴时，FH最短，从而求出FH，再求出FG即可；
（4）利用待定系数法求出函数解析式，再写出以点E为圆心，以2为半径的圆的解析式，然后消掉x得到关于y的一元二次方程，求解得到y的值，再代入抛物线解析式求出到点E的距离等于2的横坐标x的值，然后根据函数图象解答．

解答：解：（1）∵C（0，5），D（2，5），
∴抛物线的对称轴为直线x=

2

2

=1，
∵A（-1，0），
∴2×1-（-1）=3，
∴点B的坐标为（3，0）；

（2）如图，连接CD，则∠DCF=90°，
∵四边形DFBG为矩形，
∴∠DFC+∠OFB=180°-90°=90°，
∵∠OFB+∠OBF=90°，
∴∠DFC=∠OBF，
又∵∠DCF=∠FOB=90°，
∴△CDF∽△OFB，
∴

CD

OF

=

CF

OB

，
∵B（3，0），C（0，5），D（2，5），
∴CD=2，OB=3，OC=5，
∴CF=5-OF，
∴

2

OF

=

5-OF

3

，
整理得，OF²-5OF+6=0，
解得OF=2或OF=3，
∴点F的坐标为（0，2）或（0，3）；

（3）连接BD，设FG、BD相交于点H，
∵四边形DFBG是平行四边形，
∴FG、BD互相平分，
∴FG=2FH，
又∵B（3，0），D（2，5），
∴点H的坐标为（2.5，2.5），
根据垂线段最短，FH⊥y轴时，FH最短，
此时，FH=2.5，
FG=2FH=2×2.5=5；

（4）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+k（a≠0），
把点A、C的坐标代入得，

4a+k=0 a+k=5

，
解得

a=- 5 3 k= 20 3

，
∴抛物线解析式为y=-

5

3

（x-1）²+

20

3

，
∵E为AB中点，
∴点E的坐标为（1，0），
∴以E为圆心，以2为半径的圆为（x-1）²+y²=4，
与抛物线解析式联立消掉（x-1）²得，-

5

3

（4-y²）+

20

3

=y，
整理得，5y²-3y=0，
解得y₁=0，y₂=

3

5

，
y=

3

5

时，-

5

3

（x-1）²+

20

3

=

3

5

，
整理得，（x-1）²=

91

25

，
解得x₁=

5- 91

5

，x₂=

5+ 91

5

，
∴-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3时，抛物线上的点到E点的距离小于2．
故答案为：（1）（3，0）；（4）-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，平行四边形的对角线互相平分的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用圆的解析式求出抛物线到点E的距离等于2的点的纵坐标是解题的关键，也是本题的难点．