Question

4．如图，点A、B在双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＜0）上，连接OA、AB，以OA、AB为边作?OABC．若点C恰落在双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，此时?OABC的面积为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 先过A作AD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E，过B作BF⊥AD于F，设A（a，-$\frac{3}{a}$），C（b，$\frac{2}{b}$），依据△ABF≌△COE，可得B（a+b，-$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$），根据点B在双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＜0）上，可得（a+b）（-$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）=-3，设$\frac{b}{a}$=x，则方程$\frac{3b}{a}$-$\frac{2a}{b}$=2可化为3x-$\frac{2}{x}$=2，进而得到$\frac{b}{a}$=$\frac{1-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{a}{b}$=-$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，最后根据平行四边形OABC的面积=2×S_△OAC=2（S_梯形ADEC-S_△AOD-S_△COE），进行计算即可．

解答 解：如图，连接AC，过A作AD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E，过B作BF⊥AD于F，则△ABF≌△COE，
设A（a，-$\frac{3}{a}$），C（b，$\frac{2}{b}$），则OE=BF=b，CE=AF=$\frac{2}{b}$，
∴B（a+b，-$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$），
又∵点B在双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＜0）上，
∴（a+b）（-$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）=-3，
∴$\frac{3b}{a}$-$\frac{2a}{b}$=2，
设$\frac{b}{a}$=x，则方程$\frac{3b}{a}$-$\frac{2a}{b}$=2可化为3x-$\frac{2}{x}$=2，
解得x=$\frac{1-\sqrt{7}}{3}$或x=$\frac{1+\sqrt{7}}{3}$（舍去），
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{a}{b}$=-$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，
∴平行四边形OABC的面积=2×S_△OAC
=2（S_梯形ADEC-S_△AOD-S_△COE）
=2[$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）（b-a）-$\frac{1}{2}$×|-3|-$\frac{1}{2}$×|2|]
=-$\frac{3b}{a}$+3+2-$\frac{2a}{b}$-5
=-3×$\frac{1-\sqrt{7}}{3}$-2×（-$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$）
=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．解决问题的关键是换元思想以及数形结合思想的运用．