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已知抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)有如下两个特点:①无论实数a怎样变化,其顶点都在某一条直线l上;②若把顶点的横坐标减少数学公式,纵坐标增大数学公式分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加数学公式,纵坐标增加数学公式分别作为点B的横、纵坐标,则A,B两点也在抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)上.
(1)求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点所在直线l的解析式;
(2)请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点,并说明理由;
(3)你能根据特点②的启示,对一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)提出一个猜想吗?请用数学语言把你的猜想表达出来,并给予证明.

解:(1)取a=1,得抛物线y=x2+2x+3,
其顶点为P1(-1,2).
取a=-1,得抛物线y=-x2+2x+3,
其顶点为P2(1,4).
由题意有P1、P2在直线l上,设直线l的解析式为y=kx+b,则
解得:
∴直线l的解析式为y=x+3.

(2)∵抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为
显然P在直线y=x+3上.
能取到除0以外的所有实数,
∴在y=x+3上仅有一点(0,3)不是该抛物线的顶点.

(3)猜想:对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),将其顶点的横坐标减少,纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加,纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标,则A,B两点也在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上.证明如下:
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(),
∴点A的坐标为
点B的坐标为
时,
∴点A在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),
同理有B也在抛物线上,故结论成立.
分析:(1)取a=1和-1,求出两点的坐标,用待定系数法求出直线l的解析式即可;
(2)求出抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为,根据其取值,即可得出不是该抛物线的顶点的坐标;
(3)猜想:对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),将其顶点的横坐标减少,纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加,纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标,则A,B两点也在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上;求出其横、纵坐标,把横坐标代入函数式,验证即可;
点评:本题主要考查了二次函数的解析式及用待定系数法求函数的解析式,熟记二次函数的顶点坐标公式及其性质,是正确解答的关键.
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三点,且精英家教网与x轴的另一个交点为E.
(1)求抛物线的解析式;
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已知抛物线y=ax2和直线y=kx的交点是P(-1,2),则a=
 
,k=
 

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2、已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,顶点坐标为(2,-3),那么该抛物线有(  )

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2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求抛物线的解析式.

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(2013•广州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.
(1)使用a、c表示b;
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(3)若直线y2=2x+m经过点B,且于该抛物线交于另一点C(
ca
,b+8
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