Question

已知抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）上．
（1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；
（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．

Answer 1

解：（1）取a=1，得抛物线y=x²+2x+3，
其顶点为P₁（-1，2）．
取a=-1，得抛物线y=-x²+2x+3，
其顶点为P₂（1，4）．
由题意有P₁、P₂在直线l上，设直线l的解析式为y=kx+b，则
解得：
∴直线l的解析式为y=x+3．

（2）∵抛物线y=ax²+2x+3的顶点P坐标为．
显然P在直线y=x+3上．
又能取到除0以外的所有实数，
∴在y=x+3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点．

（3）猜想：对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上．证明如下：
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（），
∴点A的坐标为，
点B的坐标为．
∵时，
∴点A在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），
同理有B也在抛物线上，故结论成立．
分析：（1）取a=1和-1，求出两点的坐标，用待定系数法求出直线l的解析式即可；
（2）求出抛物线y=ax²+2x+3的顶点P坐标为，根据其取值，即可得出不是该抛物线的顶点的坐标；
（3）猜想：对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上；求出其横、纵坐标，把横坐标代入函数式，验证即可；
点评：本题主要考查了二次函数的解析式及用待定系数法求函数的解析式，熟记二次函数的顶点坐标公式及其性质，是正确解答的关键．