Question

17．如图，⊙O的直径AB=8，P为⊙O上任一点（不同于A、B两点），∠APB的平分线交⊙O于点C，弦EF经过AC、BC的中点M、N，则弦EF的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连结OC交MN于H，连结OE，如图，由于∠APB的平分线交⊙O于点C，则$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，根据垂径定理得OC⊥AB，再证明MN为△CAB的中位线，根据三角形中位线定理得到得到MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB，接着利用平行线的性质得到OC⊥MN，且OH=$\frac{1}{2}$OC=2，然后利用垂径定理得到EH=FH，则可根据勾股定理计算出EH=2$\sqrt{3}$，于是得到EF=2EH=4$\sqrt{3}$．

解答 解：连结OC交MN于H，如图，连结OE，
∵∠APB的平分线交⊙O于点C，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥AB，
∵点M、N分别为AC、BC的中点，
∴MN为△CAB的中位线，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴OC⊥MN，OH=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴EH=FH，
在Rt△EOH中，∵OH=2，OE=4，
∴EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2EH=4$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线定理．