Question

如图，正方形ABCO的边长为，O为原点，BC交y轴于点D，且D为BC边的中点，抛物线y=ax²+bx+c经过B、C且与y轴的交点为：
（1）求点C的坐标，并直接写出点A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式及对称轴；
（3）探索在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）过C作CF⊥x轴于F，由△FCO∽△DCO，D是BC中点，
∴CF=2OF，
设OF=x，则x²+（2x）²=5，
解得x=1，
∴C（1，2），
A（-2，1）、B（-1，3）．

（2）由抛物线y=ax²+bx+c经过A、B，且与y轴交于E（0，），则有：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-，
对称轴为直线；

（3）满足条件的点P有4个：P₁（-，-）、P₂（-，）、P₃（-，）、P₄（-，）．


分析：（1）过C作CF⊥x轴于F，在Rt△OCF中，易证得∠OCF=∠COD，则它们的正切值相同，可得CF=2OF，再根据勾股定理即可求出OF、CF的长，由此可得C点的坐标；同理可求出A、B的坐标；
（2）根据已经求得的A、B、C的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可求出其对称轴方程；
（3）若△PBC是直角三角形，存在三种情况：
①∠PBC=90°，则P点必为直线AB与抛物线对称轴的交点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线的对称轴方程即可求出P点的坐标；
②∠PCB=90°，则P点必为直线OC与抛物线对称轴的交点，方法同①；
③∠BPC=90°，可以BC为直径作圆，那么P点即为圆与抛物线对称轴的交点；可过D作抛物线对称轴的垂线，设垂足为M，连接DP，根据抛物线的对称轴即可得到DM的长，而DP是圆的半径即BC长，在Rt△DPM中，即可用勾股定理求出PM的值，进而可求出P点的纵坐标，而P点横坐标与抛物线的对称轴的值相同，由此可得到P点的坐标．
点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数解析式的确定、直角三角形的判定以及函数图象交点坐标的求法等知识．要注意的是（3）题中，由于直角三角形的直角顶点没有确定，因此要分类讨论，以免漏解．