Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。
（1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；
（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置。

Answer 1

解：（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF，∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。
∴△ABE≌△DAF（SAS）。∴∠ABE=∠DAF。
又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAF+∠AEB=90°。
∴∠AOE=90°，即AF⊥BE。
（2）BO=AO+OG。理由如下：
由（1）的结论可知，∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，
∴△ABO≌△DAG（AAS）。∴BO=AG=AO+OG。
（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，

由矩形的性质，得EH=OG，
∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5。
∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB=∠EDH。
∴△ABE∽△HED。∴AB：BE=EH：ED=4：5。
在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，∴AE：AD=3：4，即AE=AD。
∴点E在AD上离点A的AD处。

解析