Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连结OE，若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1所示，连接OD，BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°．
在Rt△BDC中
∵E是BC的中点，∴DE=BC；
∴DE=BE；∴∠1=∠2．
∵OD=OB，∴∠3=∠4；
∵∠ABC=∠2+∠4=90°
∴∠ODE=∠1+∠3=90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵E是BC的中点，O是AB中点，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=∠BOE=，
∵BE=，
∴OE=．
分析：（1）连接OD，BD，利用切线的性质得出∠ABC=∠2+∠4=90°，进而得出∠ODE=∠1+∠3=90°，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△ADB，以及AC的长，进而得出答案．
点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，根据已知得出△ABC∽△ADB是解题关键．