Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P、Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿ABCD的方向运动，点Q以每秒1个单位的速度沿ADC的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动，设P、Q两点运动的时间为x（秒），△APQ的面积为S（平方单位）．
（1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是______秒；
（2）求S与x之间的函数关系式；
（3）当S=时，求x的值．

Answer 1

解：（1）（4×2+2×2）÷（2+1）=4．
故答案为：4．

（2）如图1，当0≤x≤2时，S=AP=•x•2x=x²．
如图2，当2＜x≤3时，
由长方形ABCD的面积-S_△ADQ-S_△QCP-S_△ABP=S_△QAP
=4×2-×2×（x-2）-×4×（2x-4）-×（6-x）×（6-2x）
=-x²+4x．
如图3，当3＜x≤4时，S=×AD×QP=×2×（12-3x）=12-3x．

（3）当0≤x≤2时，x²=，解得：x=±，
故x=．
当2＜x≤3时，-x²+4x=，解得：x=2±，故x=2+．
当3＜x≤4时，12-3x=，解得：x=（小于3，舍去），故此时不存在．
分析：（1）当两点相遇时，所行驶的路程为4×2+2×2=12，再利用路程÷速度=时间，进行计算即可；
（2）当0≤x≤2时，P点在AB上，Q点在AD上，根据三角形面积进行计算即可；
当2＜x≤3时，P点在CB上，PB=2x-4，CP=6-x，Q点在CD上，DQ=x-2，QC=6-2x，用长方形ABCD的面积-三角形ADQ的面积-三角形QCP的面积-三角形ABP的面积可得三角形QAP的面积；当3＜x≤4时，则QP=4-DQ-CP=12-3x，再利用三角形面积进行计算即可；
（3）把S=代入（2）中的解析式即可求出x的值．
点评：此题主要考查了二次函数，三角形的面积计算，以及一元二次方程的计算，关键是根据x的取值范围表示出S与x之间的函数关系式．