Question

（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点
∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0解得a＝1b＝4
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3
（2）由（1）配方得y=(x+2)²-1
∴抛物线的顶点M（-2，,1）∴直线OD的解析式为y=x
于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），
∴平移的抛物线解析式为y=（x-h）²+h.
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h²+h=9，
解得h=. 
∴ 当 ≤h<时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组y=（x-h）²+h,y=-2x+9.
得 x²+（-2h+2）x+h²+h-9=0，∴△=（-2h+2）²-4（h²+h-9）=0，
解得h=4.
此时抛物线y=（x-4）²+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.
综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h<.
（3）方法1将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x²，
    
设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）.
假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF,
∴-x_E/x_F=(y_E-t)/(y_F-t)=(kx_E+3-t)/(kx_F+3-t)
∴2kx_E·x_F=（t-3）（x_E+x_F）
由y=x²，y=-kx+3.得x²-kx-3=0.
∴x_E+x_F=k,x_E·x_F=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上.
方法2 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m,m²）（n,n²）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m²）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上.

解析