Question

如图直角△ABC中，∠C=90°．
（1）画出△ABC的内切圆，圆心为O，与边AB、AC、BC分别相切于D、E、F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）直接写出∠AOB的度数：∠AOB=

 

度．
（3）若AD=6，BD=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）分别作出∠BAC，∠ABC的平分线，交于点O，以点O为圆心，以O到一边的距离为半径画圆即可；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义可得∠AOB=90°+

1

2

∠C，把相关数值代入即可求解；
（3）根据勾股定理可求得CE长，也就求得了AC及BC长，利用三角形的面积公式可得所求的三角形的面积．

解答：解：（1）如图所示：

（2）∠AOB=180°-（∠OAD+∠OBD）
=180°-

1

2

（∠CAB+∠ABC）
=180°-

1

2

（180°-∠C）
=90°+

1

2

∠C=135°；

（3）设CE=x．
∵CE=CF，AE=AD，BF=BD，
∴AC=6+x，BC=4+x，
在△ABC中，AB²=AC²+BC²，
∴10²=（6+x）²+（4+x）²，
解得x₁=2，x₂=-12（不合题意，舍去）．
∴AC=8，BC=6，
∴△ABC的面积为

1

2

×8×6=24．

点评：三角形内切圆的圆心为任意两个内角平分线的交点，半径为内心到边的距离；三角形任意两内角平分线相交所得的钝角等于90°+第三个角的一半；从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线长相等．