Question

15．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列6个结论正确的有5个
①ac＜0  ②2a+b=0  ③4a+2b+c＞0  ④对于任意x均有ax²+bx≥a+b
⑤3a+c=0   ⑥b+2c＜0   ⑦当x＞1时，y随着x的增大而减小．

Answer 1

分析 根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线与x轴交于（-1，0），（3，0），得到对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，于是得到2a+b=0，故②正确；把x=2代入还是解析式得到4a+2b+c＜0，故③错误；由于x=1，a+b+c最小，于是得到对于任意x均有ax²+bx≥a+b，故④正确；把x=-1代入解析式得到a-b+c=0，把-b=2a代入上式于是得到a+2a+c=3a+c=0，故⑤正确；根据a＞0，对称轴在y轴的右侧，得到b＜0，于是得到b+2c＜0，故⑥正确；根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故⑦错误．

解答 解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于（-1，0），（3，0），
∴对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∴2a+b=0，故②正确；
当x=2时，4a+2b+c＜0，故③错误；
当x=1时，a+b+c最小，
∴对于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，
∴对于任意x均有ax²+bx≥a+b，故④正确；
当x=-1时，a-b+c=0，
∵2a+b=0，
∴-b=2a，
∴a+2a+c=3a+c=0，故⑤正确；
∵a＞0，对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴b+2c＜0，故⑥正确；
∵当x＞1时，y随着x的增大而增大，故⑦错误．
∴正确的有①②④⑤⑥共5个，
故答案为：5．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，正确识别图象是解题的关键．