Question

（2012•松北区二模）等腰△ABC中，AB=BC，点D在BC上，射线BM交AD于点E，∠BAD=∠FBC，点F在射线BM上，且∠BFC=∠ADC．
（1）当F点与E点重合时（如图1），求证：BD=CF；
（2）当∠BFC=60时（如图2），S_△ABD：S_△BCF=5：8，△BCF的周长和△ABD的周长之差为3，D点关于过E的某条直线对称点G，恰好落在射线BM上，连接GC，求线段GC的长度．

Answer 1

分析：（1）在BF上取点H，使BH=AD，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△BCH，进而得出BD=CH，∠ADB=∠BHC，求出∠ADC=∠FHR=∠BFC，即可得出答案；
（2）首先利用S_△ABD：S_△BCF=5：8，得出BF：AD=5：8，进而利用△BCF的周长和△ABD的周长之差为3得出FH=3，进而由△ABD∽△BED，得出BE，DE的长，利用对称性得出BG，EG的长，即可得出FQ，QG，以及GC的长．

解答：（1）证明：在BF上取点H，使BH=AD，
∵在△ABD和△BCH中：

BH=AD ∠BAD=∠FBC AB=BC

∴△ABD≌△BCH（SAS），
∴BD=CH，∠ADB=∠BHC，
∵等角的补角相等，
∴∠ADC=∠FHR=∠BFC，
∴FC=CH=BD，

（2）解：∵AB=BC，∠BAD=∠FBC，
∴由题意可得出，C到BF的距离等于B到AD的距离，
∵S_△ABD：S_△BCF=5：8，
∴BF：AD=5：8，
即BF：BH=5：8，FH：BH=3：5，
∵AB=BC，BD=CF，AD=BH，△BCF的周长和△ABD的周长差为3，
∴FH=3，
∴BH=AD=5，BF=8，
当∠ADC=60°时，△FCH是等边三角形，
∴FC=FH=HC=BD=3，
过点B作CF⊥BF交延长线于P，
∴FP=

1

2

BF=4，CP=PF-FC=1，
∴BP=4

3

，
∴BC=

(4 3 )2+12

=7=AB，
由△ABD∽△BED，
∴DE：BD=BD：AD=BE：AB，
∴

DE

3

=

3

5

=

BE

7

解得：DE=1.8，BE=4.2，
由D、G关于过E点直线对称，得EG=DE=1.8，BG=BE+EG=6，
作GQ⊥CF于Q，
∵∠BFC=60°，FG=2，
∴FQ=1，QG=

3

∴GC=

QC2+QG2

=

3+22

=

7

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，正确作出辅助线利用相似三角形的性质得出DE，BE的长是解题关键．