Question

已知菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120°，点M在射线AB上，BM=1，∠DMN=60°，射线MN交射线BC于N，则BN=________．

Answer 1

3或5
分析：本题需要分两种情况讨论，①点M在线段AB上，②点M在线段AB的延长线上，根据平行线的性质及解直角三角形的知识，结合相似三角形的性质，分别解出即可．
解答：①当点M在线段AB上时，

过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，延长DM、CB交于一点P，
则AQ=BQ=2，QM=BM=1，DQ=2，
在Rt△DQM中，DM==，
∵BC∥AD，
∴===，
解得：BP=，PM=，
∵∠DMN=60°，∠DBC=60°，
∴∠PMN=120°，∠PBD=120°，
∴△PMN∽△PBD，
∴=，即=，
解得：BN=3；
②当点M在AB延长线上时，

过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，
则DQ=2，BD=4，DM==，
∵BP∥AD，
∴==，==，
∴BP=，
又∵MP+PD=DM=，
∴MP=，PD=，
∵∠PMN=∠DMN=60°，∠PBD=∠CBD=60°，
∴△PBD∽△PMN，
∴=，即=，
解得：BN=5．
综上可得BN=3或5．
故答案为：3或5．
点评：本题考查了菱形的性质，涉及了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，注意构造相似三角形，利用对应边长比例的知识求解．