在平面直角坐标系中.点A的坐标为(0.3).点B的坐标为.点C的坐标为(3.0).点M是△ABC外接圆的圆心．(1)求经过A.B.C三点的抛物线的解析式及点M的坐标,(2)设抛物线的顶点为D.Q是直线CD上一动点.请直接写出以A.D.M.Q为顶点的四边形为平行四边形时的点Q的坐标,(3)在抛物线上找求点P.使△PAB的面积与△MCD的面积之比为2:3.并求出点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•鞍山一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（-1，0），点C的坐标

为（3，0），点M是△ABC外接圆的圆心．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，Q是直线CD上一动点，请直接写出以A、D、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时的点Q的坐标；
（3）在抛物线上找求点P，使△PAB的面积与△MCD的面积之比为2：3，并求出点P的坐标．

分析：（1）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入即可求出a、b、c的值，进而求出抛物线的解析式；由于三角形外心的定义可知M点必在线段BC的垂直平分线上，且到线段A、B两端的距离相等，故可得出点M所在线段的解析式，设出点M的坐标，由AM=BM即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线CD及AM的解析式，判断出两直线的位置关系，设出Q点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出Q点的坐标；
（3）先求出△MCD的面积，△PAB的面积与△MCD的面积之比为2：3，可求出△PAB的面积，利用两点间的距离公式求出AB的长，故可得出点P到直线AB的距离，再由点P在抛物线上可设出P点坐标，利用点到直线的距离公式即可得出x的值．

解答：

解：（1）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（0，3），B（-1，0），C（3，0），
∴

c=3

a-b+c=0

9a+3b+c=0

，
解得

a=-1

b=2

c=3

，
故此抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
∵点M是△ABC外接圆的圆心，B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（3，0），
∴点M所在的直线为x=1，
∴设M（1，y），则AM=BM，即1²+（3-y）²=（-1-1）²+y²，
解得y=1，
故M（1，1）；

（2）如图所示：
∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，点D为此抛物线的顶点，
∴D（1，4），
设过CD两点的直线解析式为y=kx+b，
∵C（3，0）、D（1，4），
∴

3k+b=0

k+b=4

，
解得

k=-2

b=6

，
故直线CD的解析式为y=-2x+6；
同理可得直线AM的解析式为y=-2x+3，
则AM∥CD，
∵点Q在直线CD上，
∴设Q（x，-2x+6），
∵四边形ADMQ是平行四边形，
∴AM=QD，即（x-1）²+（-2x+6-4）²=5，
解得x=0或x=2，
∴Q₁（0，6），Q₂（2，2）；

（3）如图2，
∵D（1，4），M（1，1），C（3，0），

∵DM=4-1=3，点C到直线DM的距离为2，
∴S_△MCD=

×3×2=3，
∵△PAB的面积与△MCD的面积之比为2：3，
∴S_△PAB=2，
∵A（0，3），B（-1，0），
∴AB=

(0+1)2+(3-0)2

，
设过点A、B的直线解析式为y=ax+b，则

b=3

-k+b=0

，
解得

k=3

b=3

，
故过点A、B的直线解析式为y=3x+3，
设点P（x，-x²+2x+3），点P到直线AB的距离等于h，则

AB•h=2，

h=2，
解得h=

，
则

|3x-(-x2+2x+3)+3|

32+32

，
解得x=

-1±

，
故P（

-1±

，

-5±

）

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的外接圆等相关知识，综合性较强．

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