Question

如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD=CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG=60°；（3）AF=2FG；（4）AC=2CE．其中正确的结论有个．

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

B
分析：（1）由△ABC是等边三角形，可得AC=CB，∠ACE=∠B=60°，又由BD=CE，即可证得△ACE≌△CBD；
（2）由△ACE≌△CBD，可得∠CAE=∠BCD，然后又三角形外角的性质，求得∠AFG=∠ACF+∠CAE=∠ACF+∠BCD=∠ACE=60°；
（3）由∠AFG=60°，AG⊥CD，可得∠FAG=30°，即可证得AF=2FG；
（4）由AC=BC，且BC不一定等于2CE，可得AC不一定等于2CE
解答：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠ACE=∠B=60°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确；
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，
∴∠AFG=∠ACF+∠CAE=∠ACF+∠BCD=∠ACE=60°；故正确；
（3）∵∠AFG=60°，AG⊥CD，
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG；故正确；
（4）∵AC=BC，且BC不一定等于2CE，
∴AC不一定等于2CE；故错误．
故选B．
点评：此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．