练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1（cm/s）的速度向点B运动（运动开始时点M与点A重合），过M、N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点（如图），设线段MN运动的时间为t（s）时，△BNQ的面积为ycm2．
    （1）求出y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （2）当MN运动几秒钟后，y最大，最大值为多少？
    （3）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由．

    解：（1）作CH⊥AB于H，
    ∵∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm
    ∴AB=8，AH=2，CH=2，
    ①当0≤t≤1时点P，Q均在AC上，在Rt△ANQ中，
    ∵∠A=60°，AN=t+1，
    ∴NQ×tan60°=（t+1），
    又BN=AB-AM-MN=8-t-1=7-t，
    ∴y=BN•NQ=×（t+1）×（7-t）=-（t2-6t-7）；
    ②当1＜t≤7时，点Q在BC上，在Rt△BNQ中，
    ∵∠QBN=30°，BN=7-t，
    ∴NQ=BN×tan30°=（7-t），
    ∴y=BN•NQ=×（7-t）×（7-t）=（7-t）2，
    综上所述∴；

    （2）当0≤t≤1时，二次函数y=-（t2-6t-7）=-[（t-3）2-16]，
    其对称轴为t=3，开口向下，
    当t≤3时y随t的增大而增大，
    故知当t=1时，y最大，其最大值为6cm2，
    又二次函数y=（7-t）2在1＜t≤7时，y随t的增大而减小，
    而t=1时，亦有y=，
    综上所述，线段MN运动1（s）后即达到最大值，其最大值为6cm2；

    （3）若四边形MNQP为矩形，必需PM=QN，点P在AC上，点Q在BC上，
    在Rt△BNQ中，NQ=BN×tan30°=（7-t），
    在Rt△APM中，PM=AM×tan60°=t，
    由PM=QN，得t=（7-t），
    ∴t=，
    ∴当t=（s）时，四边形MNQP为矩形．
    分析：（1）本题要分两种情况进行讨论：
    ①当Q在AC上运动时即当0≤t≤1时，可在直角三角形ANQ中，根据∠A的度数和AN的长表示出NQ的长，进而可根据三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；
    ②当Q在BC上运动时即当1＜t≤7时，先根据AN的长表示出BN的值，然后在直角三角形BNQ中，根据∠CBN的度数求出NQ的长，然后同①；
    （2）可根据（1）得出的函数的性质，求出y的最大值及对应的t的值；
    （3）若要四边形PMNQ成为矩形，必须满足的条件是MP=QN，此时P在AC上，Q在BC上，可在直角三角形AMP和BNQ中分别用t表示出MP和NQ的长，然后根据MP=NQ求出t的值．
    点评：本题考查了直角三角形的性质、二次函数的应用、矩形的判定等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求⊙O的半径．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，点D是AB的中点，点O是△ABC的重心，则OD的长为（　　）
    A、12B、6C、2D、3

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在Rt△ABC中，已知a及∠A，则斜边应为（　　）
    A、asinA
    B、
    a
    sinA
    C、acosA
    D、
    a
    cosA

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，CD：DB=1：3．求tanA和tanB．（要求画出图形）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（　　）
    A、9：4B、9：2C、3：4D、3：2

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案