Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．
（1）求证：△ABE与△ADC相似；
（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠E与∠C均是所对的圆周角，
∴∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC；

（2）解：由（1）知△ABE∽△ADC，
∴，
∴AD=4，
∴△ADC的面积=4．
分析：（1）由AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°，由高可得∠ADC=90°，由弧AB所对的圆周角相等得到角相等，可得两个三角形相似；
（2）由三角形相似可得对应边成比例，可求出AD的大小，利用三角形面积公式可求得△ADC的面积．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质和三角形外接圆与外心；在三角形与外接圆的题目中要注意运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等这两个性质．