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    已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．
    （1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是______，此时=______；
    （2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；
    （3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．

    【答案】分析：（1）由于AB=OB，CD=OC，∠ABO=∠DCO，且∠ABO=60°，则△AOB和△COD都为等边三角形，又A、O、C三点在同一直线上，则△PMN为等边三角形，AD=BC．
    （2）连接BM、CN，由于△ABO与△MPN都为等腰三角形，且证得∠MPN=∠ABO，则△PMN∽△BAO，的值可在Rt△BMA中求得．
    （3）结合图形，直接可写出△COD绕点O旋转后PM的最大值．
    解答：解：（1）连接BM，CN，
    ∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
    ∴△AOB与△COD是等边三角形，
    又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，
    ∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=∠ABO=∠NCO=∠OCD=30°，
    ∴PM=PN=BC，
    ∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
    ∵∠BAO=∠DCO=60°，
    ∴AB∥CD，
    ∴∠ABC+∠DCB=180°，
    ∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
    ∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
    ∴∠MPN=60°，
    ∴△PMN是等边三角形，
    ∴PM=PN=MN，
    ∵AD=2MN，BC=2PM，
    ∴=1．

    （2）证明：连接BM、CN．
    由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
    ∵A、O、C三点在同一直线上，∴B、O、D三点在同一直线上．
    ∴∠BMC=∠CNB=90°．∵P为BC中点，
    ∴在Rt△BMC中，．
    在Rt△BNC中，，∴PM=PN．
    ∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，为半径的圆上．∴∠MPN=2∠MBN．
    又∵，∴∠MPN=∠ABO．∴△PMN∽△BAO．
    ∴．由题意，，又．
    ∴．∴．
    在Rt△BMA中，．
    ∵AO=2AM，∴．∴．

    （3）．
    当CD∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
    PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=．

    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的确定条件，综合性强，较为复杂．
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    ．

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    ，此时
    AD
    BC
    =
     
    ；
    （2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算
    AD
    BC
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    （1）试用t的代数式表示P点的坐标；
    （2）求△OPQ的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
    （3）试问是否存在这样的时刻t，使△OPQ为直角三角形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．

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    （2
    		6
    ，-2
    		2
    ）或（-2
    		2
    ，2
    		6
    ）
    （2
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    ，-2
    		2
    ）或（-2
    		2
    ，2
    		6
    ）
    ．

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