Question

如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．
（1）当点P在AB延长线上的位置如图（1）所示时，连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
（2）当点P的位置发生改变时（如图（2）），由以上的过程形成的角∠CDP的度数是否发生变化？请对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析：（1）通过量角器可测量出∠CDP的度数；
（2）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCP=90°，根据角平分线的定义得∠1=∠2，利用三角形外角性质有∠CDP=∠A+∠2=∠A+∠1，而∠A=∠ACD，所以∠CDP=∠ACO+∠1，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CDP=45°．

解答：解：（1）测量出∠CDP的度数为45°；

（2）∠CDP的度数不发生变化．理由如下：
连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠1=∠2，
∴∠CDP=∠A+∠2=∠A+∠1，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACD，
∴∠CDP=∠ACO+∠1，
而∠CDP+∠ACO+∠1=180°-∠OCP=90°，
∴∠CDP=45°．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．