Question

如图，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形．
（3）在第（2）条件下探索OBED的形状．

Answer 1

（1）证明：连接OD、DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E为BC边上的中点，
∴CE=EB=DE，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，
∴∠EDO=∠1+∠4=90°，
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∠CAB=45°．
理由是：∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=45°，
∴∠DOA=180°-45°-45°=90°=∠EDO，
∴DE∥AO，
∵E为BC中点，OA=OB，
∴EO∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形，
即当∠A=45°时，四边形AOED是平行四边形．

（3）解：OBED的形状是正方形．
理由是：∵∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°，OB=OD，
∴四边形OBED是正方形，
即OBED的形状是正方形．
分析：（1）连接OD、DB，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形性质求出DE=BE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，即可求出答案；
（2）根据三角形的中位线求出OE∥AD，求出∠DOA=90°=∠EDO，得出DE∥AB即可；
（3）根据矩形和正方形的判定求出即可．
点评：本题主要考查对平行线的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，切线的性质和判定，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．