Question

8．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（4，0）、（0，5），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标；
（2）若过点C的直线CD交长方形OABC边于点D，且把长方形OABC的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；
（3）如果将（2）中的线段CD向下平移1个单位，所得线段C₁D₁，试计算由O、A、C₁、D₁点组成的四边形面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，点B的横坐标与点A的横坐标相等，纵坐标与点C的纵坐标相等解答；
（2）求出被分成的两个部分的周长，再根据点D在边OA上或AB上确定出点D坐标即可；
（3）根据平移性质找出点C、D平移后的对应点C′、D′的位置，然后再求四边形OAD′C′的面积．

解答 解：（1）∵A，C的坐标分别为（4，0）、（0，5），
∴点B的横坐标为4，纵坐标为5，
∴点B的坐标为（4，5）；

（2）矩形的周长为2×（4+5）=18，
∵CD把长方形OABC的周长分成2：3的两部分，
∴被分成两部分的周长分别为18×$\frac{2}{2+3}$=$\frac{36}{5}$，
18×$\frac{3}{2+3}$=$\frac{54}{5}$，
∴当点D在边OA上时，OD=$\frac{36}{5}$-5=$\frac{11}{5}$，
∴点D的坐标为（$\frac{11}{5}$，0）；
当点D在边AB上时，OD=$\frac{54}{5}$-9=$\frac{9}{5}$，
∴点D的坐标为（4，$\frac{9}{5}$）；
故点D的坐标为（$\frac{11}{5}$，0）或（4，$\frac{9}{5}$）．

（3）∵线段CD向下平移1个单位，
∴CC′=1，
∴OC′=4，
当点D在边AB上时，BD′=$\frac{9}{5}$-1=$\frac{4}{5}$，
∴由O、A、C₁、D₁点组成的四边形面积=$\frac{1}{2}$×4（4+$\frac{4}{5}$）=$\frac{48}{5}$；
∴当点D在边OA上时，
∵O、D′、A在一条直线上，构不成四边形．
∴由O、A、C₁、D₁点组成的四边形面积为$\frac{48}{5}$．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了点的坐标的确定，四边形面积的求法，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，难点在于（2）求出被分成的两个部分的周长并确定出点D的位置．