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    （2014•宝山区一模）如图，已知抛物线y=-
    14
    x2    +bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
    （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
    （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
    （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
    （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；
    （2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；
    （3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；
    （4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．
    解答：解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y=-
    1
    4
    x2    +bx+4上，
    ∴-
    1
    4
    ×64+8b+4=0，
    解得b=
    3
    2
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4，
    对称轴为直线x=-
    3
    2
    2×(-
    1
    4
    )
    =3；

    （2）△AOC∽△COB．
    理由如下：令y=0，则-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4=0，
    即x2-6x-16=0，
    解得x1=-2，x2=8，
    ∴点A的坐标为（-2，0），
    令x=0，则y=4，
    ∴点C的坐标为（0，4），
    ∴OA=2，OB=8，OC=4，
    ∵
    OC
    OA
    =
    OB
    OC
    =2，∠AOC=∠COB=90°，
    ∴△AOC∽△COB；

    （3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
    则
    8k+b=0
    b=4
    ，
    解得
    k=-
    1
    2
    b=4
    ，
    ∴直线BC的解析式为y=-
    1
    2
    x+4，
    ∵MN∥y轴，
    ∴MN=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4-（-
    1
    2
    x+4），
    =-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x+4+
    1
    2
    x-4，
    =-
    1
    4
    x2+2x，
    =-
    1
    4
    （x-4）2+4，
    ∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；

    （4）由勾股定理得，AC=
    		22+42
    =2
    		5
    ，
    过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，
    ①AC=CQ时，DQ=
    		CQ2-CD2
    =
    		(2
    		5
    )    2    -32
    =
    		11
    ，
    点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+
    		11
    ，
    此时点Q1（3，4+
    		11
    ），
    点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-
    		11
    ，
    此时点Q2（3，4-
    		11
    ），
    ②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，
    CQ=
    		32+42
    =5，
    ∴AQ=CQ，
    此时，点Q3（3，0），
    综上所述，点Q的坐标为（3，4+
    		11
    ）或（3，4-
    		11
    ）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，二次函数的最值问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，难点在于（4）要分情况讨论．
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    2
    ＜x＜2
    1
    2
    ＜x＜2
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