Question

如图，在直角坐标系中，O为原点．反比例函数的图象经过第一象限的点A，点A的纵坐标是横坐标的倍．
（1）求点A的坐标；
（2）如果经过点A的一次函数图象与x轴的负半轴交于点B，AC⊥x轴于点C，若△ABC的面积为9，求这个一次函数的解析式．
（3）点D在反比例函数的图象上，且点D在直线AC的右侧，作DE⊥x轴于点E，当△ABC与△CDE相似时，求点D的坐标．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数的图象经过第一象限的点A，点A的纵坐标是横坐标的倍，
∴设A点坐标为：（x，x），
∴x•x=6，
解得：x=2或x=-2（不合题意舍去），
∴点A的坐标为：（2，3）；

（2）∵点A的坐标为：（2，3），AC⊥x轴于点C，
∴AC=3，CO=2，
∵△ABC的面积为9，
∴×AC×BC=（BO+2）×3=9，
解得：BO=4，
故B点坐标为：（-4.0），
将A，B两点代入y=kx+b得：
，
解得：，
故这个一次函数的解析式为：y=x+2；

（3）设D点的坐标为（x，y）
∵反比例函数解析式为y=，
∴DE=y=，EC=x-2，
当△ABC∽△DCE时，
则=，
即=，
解得：x₁=1+，x₂=1-（不合题意舍去），
故y==，
则D点坐标为：（1+，），
当△ABC∽△CDE时，
则=，
即=，
解得：x₁=3，x₂=-1（不合题意舍去），
故y==2，
则D点坐标为：（3，2），
综上所述：D点坐标为：（1+，），（3，2）．
分析：（1）根据点A的纵坐标是横坐标的倍，假设出A点坐标，进而将A点代入反比例函数解析式即可求出；
（2）根据A点坐标以及△ABC的面积为9，利用直角三角形面积求法得出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）利用当△ABC∽△DCE时以及当△ABC∽△CDE时分别利用相似三角形的性质得出比例式求出即可．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质和反比例函数的综合应用，根据已知表示出D点坐标是解题关键．