Question

如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．

Answer 1

猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC，
证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．
则∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，
∵∠MEG=∠NED，ME=NE，
∴△MEG≌△NED，
∴MG=DN．
∵BM=DN，
∴MG=BM．
作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，
∴四边形MBHG是矩形．
∵MG=MB，
∴四边形MBHG是正方形，
∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，
∴AM=CH，
∴△AMG≌△CHG．
∴GA=GC．
又∵DA=DC，
∴DG是线段AC的垂直平分线．
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴DF=AC
即线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC．
分析：猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC，过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G，作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG． 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明△AMG≌△CHG即可．
点评：本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力．