Question

（2013•张家界）阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：
   2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
   将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁴-1
   即S=2²⁰¹⁴-1
   即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）．

Answer 1

分析：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
将等式两边同时乘以2得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
将下式减去上式得：2S-S=2¹¹-1，即S=2¹¹-1，
则1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；

（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，
两边乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹，
下式减去上式得：3S-S=3ⁿ⁺¹-1，即S=

1

2

（3ⁿ⁺¹-1），
则1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=

1

2

（3ⁿ⁺¹-1）．

点评：此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．