Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，连接OE．求证：
（1）BD=BF；
（2）∠EOD=2∠AED．

Answer 1

（1）证明：∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；

（2）∵AC是⊙O的切线，
∴∠OEA=90°，
即∠AED+∠DEO=90°①，
∵OE=OD，
∴∠EDO=∠DEO，
∴∠DOE=180°-2∠DEO，
即∠DOE+∠DEO=90°②，
由①②得：∠AED-∠DOE=0，
则∠DOE=2∠AED．
分析：（1）根据切线性质得出OE⊥AC，推出OE∥BC，推出∠OED=∠F，根据等腰三角形性质推出∠ODE=∠OED，推出∠ODE=∠F即可；
（2）根据的切线的性质∠OEA=90°，推出∠AED+∠DEO=90°①，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠DOE=180°-2∠DEO，推出∠DOE+∠DEO=90°②，由①②即可求出答案．
点评：本题综合考查了切线的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生的推理能力，本题综合性比较强，有一定的难度．