Question

1．已知抛物线y=-x²+2ax-（a-2）²的顶点为P，当a变化时，点P总在直线l上，
（1）求直线l的解析式；
（2）已知直线l被抛物线所截得的线段恰好被x轴平分，请求出抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先利用配方法得出顶点坐标，进一步得出直线l的解析式；
（2）求得直线与x轴的交点坐标，两个函数联立方程求得及两个交点坐标，利用中点坐标的计算方法得出a的数值，求的函数解析式即可．

解答 解：（1）y=-x²+2ax-（a-2）²=-（x-a）²+4a-4，
顶点P坐标为（a，4a-4），
∵当a变化时，点P总在直线l上，
∴直线l的解析式y=4x-4；
（2）y=4x-4与x轴的交点坐标为（1，0）
两个函数联立方程得-x²+2ax-（a-2）²=4x-4，
整理得x²-2（a-2）x+a（a-4）=0，
（x-a）（x-a+4）=0，
解得：x₁=a，x₂=a-4，
直线l与抛物线的两个交点为（a，4a-4），（a-4，4a-20），
∵两个点连线的中点为（1，0），
∴2a-4=2，4a-4+4a-20=0，
∴a=3，
∴抛物线的解析式y=-x²+6x-1．

点评 此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，中点坐标公式，掌握顶点坐标、二次函数与一次函数交点问题的求法是解决问题的关键．