Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）连接DE，交AB于点O，若BC=8，AO=$\frac{5}{2}$，求cos∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明四边形ADBE是平行四边形，且∠ADB=90°即可；
（2）求出BD、AB，在Rt△ADE中，根据cos∠AED=$\frac{AE}{DE}$计算即可；

解答 证明：（1）∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC．
即∠ADB=90°．
∴四边形ADCE为矩形．
（2）∵在矩形ADCE中，AO=$\frac{5}{2}$，
∴DE=AB=5．
∵D是BC的中点，
∴AE=DB=4
∴在Rt△ADE中，cos∠AED=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．