Question

如图，△ABC内接于⊙O，AE是∠BAC外角∠CAD的平分线，交BC延长线于点E，延长EA交⊙O于点F，连接BF，求证：FB²=FA•FE．

Answer 1

证明：∵AE是∠BAC外角∠CAD的平分线，
∴∠DAE=∠CAE，又∠DAE=∠FAB，∠FBE=∠CAE，
∴∠FBE=∠FAB，
又∵∠BFE=∠AFB
∴△FAB∽△FBE
∴FB：FA=FE：FB即FB²=FA•FE．
分析：要证FB²=FA•FE，需证FB：FA=FE：FB，需证△FAB和△FBE相似．有一公共角∠F，再证明∠FBE=∠FAB即可证明两三角形相似．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质．注意：在圆中证明两三角形相似时，通常找角相等的条件，比找边对应成比例容易得多．