Question

5．已知抛物线的C₁顶点为E（-1，4），与y轴交于C（0，3）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，过顶点E作EF⊥x轴于F点，交直线AC于D，点P、Q分别在抛物线C₁和x轴上，若Q为（t，0），且以E、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求t的值；
（3）如图2，将抛物线C₁向右平移一个单位得到抛物线C₂，直线y=kx+6与y轴交于点H，与抛物线C₂交于M、N两个不同点，分别过M、N两点作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，当k的值在取值范围内发生变化时，式子$\frac{1}{HP}$+$\frac{1}{HQ}$的值是否发生变化？若不变，请求其值．（解此题时不用相似知识）

Answer 1

分析 （1）运用顶点式待定系数法求解即可；
（2）根据点Q坐标，表示点P坐标，进一步表示PQ长度，由平行四边形的对边相等列出方程求解即可；
（3）联立直线和抛物线求出交点坐标，表示HP，HQ的长度，代入化简即可．

解答 解：（1）设抛物线C₁的解析式为：y=a（x+1）²+4，把点C（0，3）的坐标代入得，a=1，
故抛物线C₁的解析式为：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；
（2）如图1，

由题意得，PQ∥DE，
由点P（t，0），得点Q（t，-t²-2t+3），
所以有：PQ=|-t²-2t+3|，
y=-（x+1）²+4，令y=0，解得：x=-3，或x=1，
∴点A（-3，0），
运用两点法可求直线AC的解析式为：y=x+3，
当x=-1时，y=2，
∴点D（-1，2），
DE=4-2=2，
由平行四边形性质可得：PQ=DE，
|-t²-2t+3|=2，
解得：t=$-1±\sqrt{2}$，或t=-1$±\sqrt{6}$；
（3）如图2，

抛物线C₁向右平移一个单位得到抛物线C₂的解析式为：y=-x²+4，
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4}\\{y=kx+6}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{-k±\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，y=$\frac{-{k}^{2}+12±k\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，
∴HP=$\frac{{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，HQ=$\frac{{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}-8}}{2}$，
HP+HQ=k²，HP×HQ=2k²，
∴$\frac{1}{HP}+\frac{1}{HQ}=\frac{HQ+HP}{HQ×HP}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会用待定系数法求解析式，知道运用平行四边形的性质建立方程并准确求解，会求含有字母系数的方程组，并化简分式是解题的关键．