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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，-3），精英家教网点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
    （1）求该抛物线的函数关系式；
    （2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；
    （3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；
    （4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）利用待定系数法直接求出函数的解析式；
    （2）△ADP是直角三角形时，点P的坐标有2个．
    （3）要求出PD的最值，首先要求出AC的解析式，最后把长度表示出来，根据二次函数的顶点坐标求出来
    （4）因为题目在（3）的条件下确定了P点坐标，利用平行四边形对角线所分得的三角形全等而求出F的纵坐标来求出F的坐标
    解答：解：（1）由题意得：
    0=9a+3b+c
    0=a+b+c
    -3=c
    ，
    解得：
    a=-1
    b=4
    c=-3
    ．
    ∴该抛物线的函数关系式为：y=-x2+4x-3；

    （2）设过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b，
    ∵A（3，0），C（0，-3），

    P点的坐标为：P1（1，0），P2（2，1）；

    （3）设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意得
    0=3k+b
    -3=b
    ，
    解得：
    k=1
    b=-3
    ．
    ∴直线AC的解析式为y=x-3．
    设P（x，-x2+4x-3）则D（x，x-3），
    PD=-x2+4x-3-（x-3）
    =-(x-
    3
    2
    )2+
    9
    4
    ，精英家教网
    ∴PD的最大值为
    9
    4
    ，P（
    3
    2
    ，
    3
    4
    ）；

    （4）当APXF是平行四边形时，则：△APE≌△XFE，
    ∴这两个三角形的高相等，
    ∵P（
    3
    2
    ，
    3
    4
    ），
    ∴F的纵坐标为-
    3
    4
    ，
    ∴F(
    4+
    		7
    2
    ， -
    3
    4
    )或(
    4-
    		7
    2
    ， -
    3
    4
    )    ．
    当F点与P点关于抛物线的对称轴对称时，A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形．F（
    5
    2
    ，
    3
    4
    ），
    ∴点F的坐标为：(
    4+
    		7
    2
    ， -
    3
    4
    )或(
    4-
    		7
    2
    ， -
    3
    4
    )    或（
    5
    2
    ，
    3
    4
    ）．
    点评：本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，函数的最值，二次函数顶点式的运用，平行四边形的性质．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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