Question

如图，正方形ABCD的长为1，点E是AD边上的动点且从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，为DC与EF的交点，请探索：
（1）连接CG，线段AE与CG是否相等？请说明理由．
（2）设AE=x，CG=y，请确定y与x的函数关系式并说明自变量的取值范围．
（3）连接BH，当点E运动到边AD上的某一点时将有△BEH∽△BAE，请你指出这一点的位置，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵BG=EB，BC=AB，∠CBA=∠EBG，
∴∠EBA=∠GBC（同角的余角相等），
∴△BEA≌△BGC，
∴AE=CG；

（2）由（1）知AE=CG，
∴y=x（0≤x≤1）；

（3）易证得△BCG∽△EDH，
又∵△BEA≌△BGC，
∴△BAE∽△EDH，
∴△BCG∽△EDH，
∴EH：EB=DE：AB，
∴当E为DA中点时，EH：EB=EA：AB且∠HEB=∠A，
即当E为DA中点时△BEH∽△BAE．
分析：由SAS定理可判断△BEA≌△BGC，∴AE=CG，可得（1）（2）问的结论；由△BCG∽△EDH和△BEA≌△BGC所得结论进行等量代换，最后三角形相似的判定定理进行证明．
点评：本题考查全等三角形的判定定理和性质以及相似三角形的判定和性质还有正方形的性质等．