Question

1．二次函数y=-x²+4x的顶点M，与x轴交于O点和A点．直线y=-2x向上平移m个单位交直线OM于点E，交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）当△EOC的面积等于△AOM面积的一半，求m的值．
（2）已知点P是二次函数y=-x²+4x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若∠PCD=90°且△PCD与△OCD相似，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式可以求得点M、A的坐标，则利用待定系数法求得直线AM的解析式．然后利用相似三角形△FOE∽△AOM的面积之比等于相似比的平方来求m的值；
（2）需要分类讨论：△PDC∽△CDO和△PDC∽△CDO两种情况进行讨论．设D（0，b），则C（$\frac{b}{2}$，0）．利用相似三角形的对应边成比例得到点P的坐标是P（b，$\frac{b}{4}$）或（$\frac{5}{2}$b，b），所以最后由二次函数图象上点的坐标特征来求b的值，则易求点P的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+4x，
∴A（4，0），M（2，4），
∴直线AM为y=-2x+8．
∵y=-2x平移后为y=-2x+m．
∴F（$\frac{1}{2}$m，0），EF∥AM
∴△FOE∽△AOM，
∴$\frac{{S}_{△FOE}}{{S}_{△AOM}}$=$（\frac{OF}{OA}）^{2}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{\frac{1}{2}m}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=4$\sqrt{2}$；

（2）设D（0，b），则C（$\frac{b}{2}$，0）．
当△PDC∽△CDO时，∠PDC=∠CDO，
∴tan∠PDC=tan∠CDO，
∴$\frac{PC}{OC}$=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{\frac{1}{2}b}{b}$=$\frac{1}{2}$．
过P作PG⊥x轴于G，
∵△PDC∽△CDO，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{CG}{OD}$=$\frac{PC}{CD}$，即$\frac{PE}{\frac{b}{2}}$=$\frac{CG}{b}$=$\frac{1}{2}$．
得PE=$\frac{b}{4}$，CE=$\frac{b}{2}$  P（b，$\frac{b}{4}$）代入二次函数$\frac{b}{4}$=-b²+4b
得b=0（舍去），或b=$\frac{15}{4}$，
∴P（$\frac{15}{4}$，$\frac{15}{16}$）．
当△PDC∽△CDO时，∠CDO=∠CPD，
∴tan∠CPD=tan∠CDO，即$\frac{CD}{CP}$=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{\frac{1}{2}b}{b}$=$\frac{1}{2}$，
过P作PE⊥x轴于E，
∵△PDC∽△CDO，
∴$\frac{OC}{PG}$=$\frac{CD}{CG}$=$\frac{CD}{CP}$，即$\frac{\frac{1}{2}b}{PG}$=$\frac{b}{CG}$=$\frac{1}{2}$，
解得：PE=b，CE=2b．
∴P（$\frac{5}{2}$b，b）代入y=-x²+4x，得
b=-$\frac{25}{4}$b²+4b，
解得b₁=0（舍去），b₂=$\frac{36}{25}$，
∴P（$\frac{18}{5}$，$\frac{36}{25}$）．
∴综上所述，点P的坐标是（$\frac{15}{4}$，$\frac{15}{16}$）或（$\frac{18}{5}$，$\frac{36}{25}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、三角形的面积求法以及相似三角形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．