Question

如图，A、B两点分别在x轴和y轴上，且OA=OB=，动点P、Q分别在AB、OB上运动，运动时，始终保持∠OPQ=45°不变，设PA=x，OQ=y．

（1）求y与x的函数关系式．
（2）已知点M在坐标平面内，是否存在以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）已知点D在AB上，且AD=，试探究：当点P从点A出发第一次运动到点D时，点Q运动的路径长为多少？

Answer 1

解：（1）∵OA=OB=，
∴AB=2，
∵OQ=y，
∴BQ=-y，
∵∠APO=∠PBO+∠BOP=45°+∠BOP，∠BQP=∠BOP+∠OPQ=45°+∠BOP，
∴∠APO=∠BQP，
又∵∠A=∠B=45°，
∴△BQP∽△APO，
∴=，即=，
∴y=．

（2）∵以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形，
当OP是菱形的对角线时，则PQ=OQ，
∵∠OPQ=45°，
∴∠OPQ=∠QOP=45°，
∴∠PQO=90°，
故可得点Q在OB中点处，
如图所示：

此时点M的坐标为（，0）；
当OP是菱形的一边时，
①若OQ=OP，如图所示：

此时点M的坐标为（，）；
②若OM=OP，
如图所示：

此时△BQP≌△APO，则BP=OA=，AP=AB-BP=2-，
过点P作PE⊥x轴于点E，
在等腰直角△APE中，PE==-1，AE=-1，OE=OA-AE=1，
∵四边形MOPQ为菱形，
∴点M与点P关于y轴对称，
∴点M的坐标为（-1，-1）；
综上可得点M的坐标为：（-1，）或（）或（）．

（3）如图所示：

点P运动　的3个界点位置分别是x=0，1，，
当点P在点A处时，x₁=0时，y₁=，
当点P在P₁处时，x₂=1时，y₂=，
故BQ₂=y₁-y₂==，
当点P位于点P₃时，x₃=时，y₃=，
故Q₂Q₃=y₃-y₂=，
点Q运动的路径长=BQ₂+Q₂Q₃=+=．
分析：（1）利用外角的知识先得出∠APO=∠BQP，继而得出△BQP∽△APO，然后利用对应边成比例可得出y与x的函数关系式；
（2）根据菱形的性质可得，可确定Q的坐标，再由菱形的性质即可确定M的坐标；
（3）根据（1）的函数关系式，即可得出点Q运动的路径长．
点评：本题考查了一次函数的综合题，涉及了菱形的判定与性质及等腰直角三角形的知识，用到了分类讨论的思想，分类讨论思想在数学解题中很重要，同学们注意认真掌握．