Question

如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，
（1）当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是______形，请说明理由．
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵EF=AC，EH=BD，
∴EF=EH，
同理可得出：EF=EH=GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形；

（2）答：当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，
证明：∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=，
同理，EH∥BD，EH=，GF=，GH=，
∵AC=BD∴EF=EH=GH=GF，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是正方形．
分析：（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据菱形的判定，矩形的性质，求解即可，
（2）首先利用菱形的性质得出平行四边形ABCD是菱形，再利用正方形的性质与判定得出即可．
点评：此题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定、矩形的性质与正方形的判定．解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形．