Question

如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，（其中一点到达终点，另一点也停止运动），设经过t秒．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于△ABC的面积的？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于10cm²？请说明理由．
（3）若P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm？
（4）P、Q在移动的过程中，是否存在某一时刻t，使得PQ∥AC？若存在求出t的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵P、Q移动t秒时AP=t，BQ=2t，
则PB=AB-AP=6-t，
∴S_△PBQ=，
∵S_△ABC==，
当S_△PBQ=S_△ABC时，则t（6-t）=，
t²-6t+8=0，
t₁=2，t₂=4，
∴当t=2或4时，△PBQ的面积等于△ABC的面积的．

（2）不存在t的值，得△PQB的面积等于10cm²．
理由：设S_△PQB=10，由（1）知：S_△PBQ=t（6-t），
∴t（6-t）=10，整理得t²-6t+10=0，
∵△=（-6）²-4×1×10=-4＜0，
∴该方程无解，
∴不存在t的值，使得△PQB的面积等于10cm²．

（3）当PQ=6时，在Rt△PBQ中，∵BP²+BQ²=PQ²，
∴（6-t）²+（2t）²=6²，
5t²-12t=0，
t（5t-12）=0，
t₁=0，t₂=，
∵t=0时不合题意，舍去，
∴当t=时，PQ的长度等于6cm．

（4）当PQ∥AC时，则△BPQ∽△BAC，
∴，
∴整理得3t=12-2t，
∴t=，
∴当t=时，PQ∥AC．
分析：（1）首先表示出AP=t，BQ=2t，PB=AB-AP=6-t，再得出S_△PBQ与S_△ABC面积，利用S_△PBQ=S_△ABC求出即可；
（2）利用S_△PBQ=t（6-t），假设等于10，利用根的判别式求出即可；
（3）根据PQ=6，利用勾股定理BP²+BQ²=PQ²，求出即可；
（4）当PQ∥AC时，则△BPQ∽△BAC，得出对应边的关系，再求出t即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的判定与性质、三角形面积求法等知识，此题涉及知识较多，难度不大，关键是要对知识的熟练应用．