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【题目】如图,已知⊙O的弦AB等于半径,连接OB并延长使BC=OB

1ABC=   

2AC与⊙O有什么关系?请证明你的结论;

3)在⊙O上,是否存在点D,使得AD=AC?若存在,请画出图形,并给出证明;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)120°;(2)AC是⊙O的切线,证明见解析;(3)存在.证明见解析.

【解析】解:(1)120°……………………………………………………………1分

(2)AC是O的切线.……………………………………………………3分

证法一

AB=OB=OA,∴△OAB为等边三角形,…………………………4分

∴∠OBA=AOB=60°……………………………………………5分

BC=BO,BC=BA,

∴∠C=CAB,……………………………………………………………6分

∵∠OBA=C+CAB=2C,

即2C=60°∴∠C=30°………………………………………7分

OAC中,∵∠O+C=60°+30°=90°

∴∠OAC=90°…………………………………………………………8分

AC是O的切线;

证法二:

BC=OB,点B为边OC的中点,……………………………………4分

即AB为OAC的中位线,…………………………………………………5分

AB=OB=BC,即AB是边OC的一半,……………………………6分

∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形,…………………………………7分

∴∠OAC=90°…………………………………………………………8分

AC是O的切线;

(3)存在.……………………………………………………………………9分

方法一:

如图2,延长BO交O于点D,即为所求的点.…………………………10分

证明如下:

连结AD,BD为直径,∴∠DAB=90°…………………………11分

CAO和DAB中,

∴△CAO≌△DAB(ASA),………………12分

AC=AD.…………………………………………………………………13分

(也可由OC=BD,根据AAS证明;或HL证得,或证ABC≌△AOD)

方法二:

如图3,画AOD=120°……………………………………………10分

OD交O于点D,即为所求的点.…………………………………………11分

∵∠OBA=60°

∴∠ABC=180°-60°=120°

AOD和ABC中,

∴△AOD≌△ABC(SAS),………………12分

AD=AC.…………………………………………………………………13分

(1)由已知可知△AOB为等边三角形,利用平角求出ABC的度数

(2)利用直角三角形的性质求出OAC=90°,从而得出结论

(3)延长BO交O于点D,即为所求的点,利用全等三角形求证

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