【题目】如图,已知⊙O的弦AB等于半径,连接OB并延长使BC=OB.
(1)∠ABC= .
(2)AC与⊙O有什么关系?请证明你的结论;
(3)在⊙O上,是否存在点D,使得AD=AC?若存在,请画出图形,并给出证明;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)120°;(2)AC是⊙O的切线,证明见解析;(3)存在.证明见解析.
【解析】解:(1)120°;……………………………………………………………1分
(2)AC是⊙O的切线.……………………………………………………3分
证法一
∵AB=OB=OA,∴△OAB为等边三角形,…………………………4分
∴∠OBA=∠AOB=60°.……………………………………………5分
∵BC=BO,∴BC=BA,
∴∠C=∠CAB,……………………………………………………………6分
又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C,
即2∠C=60°,∴∠C=30°,………………………………………7分
在△OAC中,∵∠O+∠C=60°+30°=90°,
∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分
∴AC是⊙O的切线;
证法二:
∵BC=OB,∴点B为边OC的中点,……………………………………4分
即AB为△OAC的中位线,…………………………………………………5分
∵AB=OB=BC,即AB是边OC的一半,……………………………6分
∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形,…………………………………7分
∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分
∴AC是⊙O的切线;
(3)存在.……………………………………………………………………9分
方法一:
如图2,延长BO交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………10分
证明如下:
连结AD,∵BD为直径,∴∠DAB=90°.…………………………11分
在△CAO和△DAB中,
∵,∴△CAO≌△DAB(ASA),………………12分
∴AC=AD.…………………………………………………………………13分
(也可由OC=BD,根据AAS证明;或HL证得,或证△ABC≌△AOD)
方法二:
如图3,画∠AOD=120°,……………………………………………10分
OD交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………………………11分
∵∠OBA=60°,
∴∠ABC=180°-60°=120°.
在△AOD和△ABC中,
∵,∴△AOD≌△ABC(SAS),………………12分
∴AD=AC.…………………………………………………………………13分
(1)由已知可知△AOB为等边三角形,利用平角求出∠ABC的度数
(2)利用直角三角形的性质求出∠OAC=90°,从而得出结论
(3)延长BO交⊙O于点D,即为所求的点,利用全等三角形求证
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列五个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四边形CDEF=S△ABF,其中正确的结论有________个。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在同一间中学就读的李浩与王真是两邻居,平时他们一起骑自行车上学,清明节后的一天,李浩因有事,比王真迟了10分钟出发,为了能赶上王真,李浩用了王真速度的1.2倍骑车追赶,结果他们在学校大门处相遇,已知他们家离学校大门处的骑车距离为15千米.求王真的速度.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,等腰△OAB的顶角∠AOB=30°,点B在x轴上,腰OA=4
(1)B点得坐标为: ;
(2)画出△OAB关于y轴对称的图形△OA1B1(不写画法,保留画图痕迹),求出A1与B1的坐标;
(3)求出经过A1点的反比例函数解析式.(注:若涉及无理数,请用根号表示)
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