Question

（2012•花都区一模）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．
（1）求线段PC的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的长；
（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：（1）连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵AB=8，
∴OC=

1

2

AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°=

OC

PC

，
即PC=

4

3 3

=4

3

；

（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，
∴OD为∠AOC的平分线，
∴∠COE=

1

2

∠AOC=60°，又半径OC=4，
∴S_扇形OCE=

60π×42

360

=

8π

3

，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=

1

2

OC=2，
根据勾股定理得：CD=

OC2-OD2

=2

3

，
∴S_△OCD=

1

2

DC•OD=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
则S_阴影=S_扇形OCE-S_△OCD=

8π

3

-2

3

．

点评：此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．