Question

（2012•南平模拟）如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=25°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）．

Answer 1

分析：作AF⊥l₄于F，交l₂于E．在Rt△ABE中根据三角函数即可求得AB的长；在直角△AFD中，根据三角函数即可求得AD的长，从而求得长方形卡片的周长．

解答：解：作AF⊥l₄于F，交l₂于E，则△ABE和△AFD均为直角三角形．
在Rt△ABE中，∠ABE=∠α=25°，
∴sin∠ABE=

AE

AB

，
∴AB=

20

0.4

=50．
∵∠FAD=90°-∠BAE，∠α=90°-∠BAE，
∴∠FAD=∠α=25°．
在Rt△AFD中，cos∠FAD=

AF

AD

，
∴AD=

40

0.9

≈44.4．
∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4+50）×2≈189（mm）．

点评：本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．通过作辅助线构造直角三角形是解决本题的关键．