Question

如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=2，CQ=5，则正方形ABCD的面积为________．

Answer 1

81
分析：作PE⊥AD与E，过点P作FG⊥CD于G，交AB于F，根据已知条件以及正方形ABCD的性质，易证明四边形AEPF是正方形，则其边长是2，易证得△PQG≌△BPF，则QG=PF=2，则大正方形的边长是9，进而可得其面积．
解答：解：作PE⊥AD与E，过点P作PF⊥AB于F，延长FP交CD于G，
∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°=∠PEA=∠PFA，
∴PE=PF，
∴四边形AEPF是正方形，
∴AE=PE=PF=AF，
∵AP=2，由勾股定理得：AE²+PE²=，
∴AE=PE=PF=AF=2，
∴PG=BF，且∠PFB=∠PGQ=90°；
∵∠FBP+∠FPB=90°，
∴∠FBP=∠GPQ，
在△PQG和△BPF中
，
∴△PQG≌△BPF，则QG=PF=2，
∴AB=BC=CD=2+2+5=9，
则大正方形的边长是9，即面积是81；故答案为81．
点评：此题主要是通过作辅助线构造正方形和全等三角形，然后求得大正方形的边长．