Question

在等腰△ABC，AB=AC，分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC，BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N．
（1）如图1，若DE∥CB，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明．
（2）如图2，若DE与CB不平行，在（1）中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，BD∥AC，AE∥BC，AB∥BC，易得四边形ACBD为平行四边形与四边形ABCE是平行四边形，则可求得：AM=AN=BM=CN；
（2）首先延长DB、EC交于点P，由BD∥AC，AB∥EC，可得四边形ABPC为平行四边形，又由AB=AC，即可证得：?ABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA，又可证得：△EAC∽△EDP与△AMC∽△PCD，根据相似三角形的对应边成比例，则可证得：CN=AM．

解答：解：（1）AM=AN=BM=CN；
证明：∵AD∥BC，BD∥AC，
∴四边形ACBD为平行四边形，
∴AM=BM．
（其它线段的证明：∵AE∥BC，AB∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AN=CN=

1

2

AC，∵AB=AC，∴AN=CN=BM=AM）

（2）CN=AM．
证明：延长DB、EC交于点P，
∵BD∥AC，AB∥EC，
∴四边形ABPC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴?ABPC是菱形，
∴AB=BP=PC=CA，
∵BD∥AC，
∴△EAC∽△EDP，
∴

AC

DP

=

EC

EP

，
同理：

NC

BP

=

EC

EP

，
∴

AC

DP

=

NC

BP

，
∵四边形ABPC是平行四边形，
∴∠BAC=∠P，
∵AC∥DP，
∴∠ACD=∠CDP，
∴△AMC∽△PCD，
∴

MA

CA

=

CP

DP

，
∴

MA

CA

=

NC

BP

，
∵AC=BP，
∴AM=CN．

点评：此题考查了平行四边形，菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．