Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+

2

与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，有点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别于直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值1．
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证：△AOF∽△BEO；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S₁，△OEF的面积为S₂．试探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据一次函数解析式求得OA=OB，则△AOB是等腰直角三角形；
（2）根据相似三角形的判定定理“两边及夹角法”证明△AOF∽△BOE；
（3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S₁，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S₂，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值

解答：（1）解：∵直线y=-x+

2

与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴OA=OB=

2

，
∴∠OAB=45°；

（2）证明：如图，过点F作FD⊥x轴于点D．则易知AF=

2

b，BE=

2

a，
∴AF•BE=2ab=2
∵OA=OB=

2

，
∴∠FAO=∠EBO；
∵AF•BE=2；
又∵OA•OB=2，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO；

（3）解：∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
∵E点的横坐标为a，E（a，

2

-a），
∴AM=EM=

2

-a，
∴AE²=2（

2

-a）²=2a²-4

2

a+4．
∵F的纵坐标为b，F（

2

-b，b）
∴BN=FN=

2

-b，
∴BF²=2（

2

-b）²=2b²-4

2

b+4．
∴PF=PE=a+b-

2

，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为：
S₁=

π

4

EF²=

π

4

•2（a+b-2）²=

π

2

（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPF=

1

2

（PF+ON）•PM，S_△PEF=

1

2

PF•PE，S_△OME=

1

2

OM•EM，
∴S₂=S_梯形OMPF-S_△PEF-S_△OME
=

1

2

（PF+ON）•PM-

1

2

PF•PE-

1

2

OM•EM
=

1

2

[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]
=

1

2

（PF•EM+OM•PE）
=

1

2

PE（EM+OM）
=

1

2

（a+b-2）（2-a+a）
=a+b-2．
∴S₁+S₂=

π

2

（a+b-2）²+a+b-2．
设m=a+b-2，则S₁+S₂=

π

2

m²+m=

π

2

（m+

1

π

）²-

1

2π

，
∵面积不可能为负数，
∴当m＞-

1

π

时，S₁+S₂随m的增大而增大．
当m最小时，S₁+S₂最小．
∵m=a+b-2=a+

2

a

-2=（

a

-

2

a

）²+2

2

-2，
∴当

a

=

2

a

，即a=b=

2

时，m最小，最小值为2

2

-2
∴S₁+S₂的最小值=

π

2

（2

2

-2）²+2

2

-2=2（3-2

2

）π+2

2

-2．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．