Question

如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于点F，以CF为邻边作平行四边形ECFM．
（1）求证：四边形ECFM为菱形；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，点G为EF中点，求∠BDG的度数；
（3）如图3，当∠ABC=120°时，求∠BDM的度数．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形就可以得出AB∥CD，AD∥BC，再根据角平分线的性质就可以得出∠BAE=∠BEA，得出EC=CF就可以得出结论；
（2）如图2，连接BG，CG，由（1）的结论就可以得出四边形EMFC是正方形，就可以得出△BCG≌△DFG，就可以得出GB=GD，∠BGC=∠DGF，就可以得出∠BGD=∠CGF，从而得出△BGD为等腰直角三角形，就可以得出结论；
（3）如图3，连接MC，MB，根据条件可以得出△CMF和△ECM是等边三角形，由其性质就可以得出△BCM≌△DFM，由全等三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE=∠EFC，∠DAE=∠CEF．
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CE=CF．
∵四边形ECFM是平行四边形，
∴平行四边形ECFM是菱形；

（2）如图2，连接BG，CG．
当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，四边形ECFM就为正方形．
∴CE=CF．
∴∠CGF=90°．
∵点G为EF中点，
∴GE=GF=GC．∠GCB=∠GFD=45°．
∵AE平分∠BAD，
∴AB=BE=CD．
∴BC=DF．
在△BCG和△DFG中

BC=DF ∠GCB=∠GFD GC=GF

，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴GB=GD，∠BGC=∠DGF，
∴∠BGC-∠DCG=∠DGF-∠DCG，
即∠BGD=∠CGF=90°，
∴△BGD为等腰直角三角形．
∴∠BGD=45°．
答：∠BGD=45°．

（3）连接MC，MB，当∠ABC=120°时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=60°．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠CFE=30°．
∵四边形ECFM是菱形，
∴∠MFC=60°，
∴△CMF和△ECM是等边三角形．
∴MC=MF，∠BCM=∠DFM=60°．
∵AB=BE=CD，
∴BC=DF．
在△BCM和△DFM中

MC=MF ∠BCM=∠DFM BC=DF

，
∴△BCM≌△DFM（SAS），
∴BM=DM，∠BMC=∠DMF，
∴∠BMC-∠DMC=∠DMF-∠DMC，
即∠DMB=∠CMF=60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠BDM=60°．
答：∠BDM=60°．

点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键，作辅助线是难点．