Question

14．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．则sin∠E的值为（　　）

• A． $\frac{7}{25}$
• B． $\frac{9}{25}$
• C． $\frac{14}{25}$
• D． $\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 根据∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，由三角函数的定义即可得出结果．

解答 解：连接CD、BG．如图所示：
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，CD⊥AB，
∵AC=BC=10，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴CD=，$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{12×8}{10}$=$\frac{48}{5}$，
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{14}{5}$．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{\frac{14}{5}}{10}$=$\frac{7}{25}$；
故选：A．

点评 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理求出CG是解决问题的关键．