Question

如图1，△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，∠AMN=60°，且MN交三角形外角的平分线CN于点N、求证：AM=MN．
思路点拨：取的AB中点P，连接PM，易证△APM≌△MCQ从而AM=MN．
如图2，四边形ABCD是正方形，点M是边BC的中点，CN是正方形ABCD的外角∠DCQ的平分线．
①填空：当∠AMN=______°时，AM=MN；
②证明①的结论．
请根据例题和问题（1）的解题过程，在正五边形ABCDE中推广出一个类似的真命题．（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明．）

Answer 1

（1）解：①填空：当∠AMN=90°时，AM=MN；

②证明：取的AB中点P，连接PM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAM+∠AMB=90°，
∵∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠PAM=∠CMN，
∵点M是边BC的中点，
点P是边AB的中点，
AB=BC，
∴AP=MC，
BP=BM，
∵∠B=90°，
∴△BPM是等腰直角三角形，
∴∠BPM=45°，
∴∠APM=135°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCQ=90°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠MCN=135°，
∴∠APM=∠MCN，
∴△APM≌△MCN，
∴AM=MN；

（2）正五边形ABCDE中点M是边BC的中点，CN是正五边形ABCDE的外角∠DCQ的平分线，当∠AMN=108°．
求证：AM=MN．
（图形和文字均正确得，否则不得分）
分析：（1）当∠AMN=90°时，AM=MN．取的AB中点P，连接PM，根据正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，以及直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半等结论，最后能证明△APM≌△MCQ从而得到结论．
（2）根据例题和问题（1）可知都是取一个边的中点，所以正五边形ABCDE中点M是边BC的中点，CN是正五边形ABCDE的外角∠DCQ的平分线，当∠AMN=108°．求证：AM=MN．
点评：本题考查理解题意能力，根据例题可类比做其他题目，本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质．